Todos sabemos que 42 é a resposta para o significado da vida, do universo e tudo mais – graças ao Guia do Mochileiro das Galáxias. Agora, sabemos também que 42 pode ser a soma de três cubos.
Durante décadas, cientistas se perguntaram se cada um dos números entre 0 e 100 poderiam ser representados pela soma de três cubos – um número elevado ao cubo é ele mesmo multiplicado três vezes (dois ao cubo é igual a oito).
Quarenta e dois era o último número sem uma solução comprovada ou sem ser provado que não havia solução – até agora.
“É incrível”, disse o matemático do MIT, Andrew Sutherland, ao Gizmodo. “Você pesquisa e espera que a resposta esteja lá, mas não sabe se o algoritmo irá encontrá-la. Então você espera e quando está prestes a desistir, o número aparece. É muito gratificante”.
Os pesquisadores Andrew Sutherland do MIT e Andrew Booker da Universidade de Bristol no Reino Unido descobriram o resultado utilizando mais de um milhão de horas de tempo computacional no Charity Engine, de acordo com um comunicado à imprensa.
A Charity Engine é uma plataforma computacional que utiliza poder de processamento de 500 mil computadores domésticos que estejam ociosos para produzir uma espécie de supercomputador mundial.
A equação, como aparece na página dos pesquisadores, é:
(-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3 = 42
Testamos a equação na calculadora do Google e surgiu um número esquisito, mas na calculadora do Bing, funciona!
Matemáticos como Louis J. Mordell vinha trabalhando para encontrar soluções para a equação a³+b³+c³=n, onde “n” é o número de interesse (42, neste caso) e “a”, “b” e “c” são as soluções que estão procurando desde a década de 1950.
Os cientistas encontraram “a”, “b” e “c” para todos os números menores que 100 menos para aqueles que realmente não tinham solução e para 33 e 42.
As exceções sem solução vieram de uma outra prova. Ela diz que todos os cubos ou são múltiplos de nove ou estão a um número inteiro de um múltiplo de nove na linha numérica — 4 ao cubo, por exemplo, dá 64, que está a uma unidade de distância de 63, que, por sua vez, é múltiplo de nove. A Wikipédia tem uma boa demonstração disso.
Isso significa que três cubos somados só podem resultar em números a três ou menos unidades distantes de múltiplos de nove – você nunca pode adicionar três cubos e resultar em um número quatro ou cinco unidades distantes de um múltiplo de nove. 31, por exemplo, está a quatro unidades de distância de 27, então não poderia ser expresso como a soma de três cubos.
Porém, 33 e 42 eram exceções da exceção; ambos estão a três unidades de distância de múltiplos de nove. Os matemáticos descobriram que ambos os números (e quaisquer outros números dentro de um intervalo definido, tirando as exceções da prova anterior) deveriam ter uma solução, ainda que não houvesse uma prova explícita disso.
Motivado por um vídeo no YouTube sobre esse tópico, Booker produziu um algoritmo para encontrar uma solução para esses problemas, e encontrou a solução para n=33 neste ano. Agora ele e Sutherland encontraram uma solução para n=42, depois de meses de esforços.
“É como ganhar na loteria”, disse Sutherland. “Se você jogar por tempo o bastante com certeza uma hora irá ganhar, mas não existe garantias de quanto tempo irá demorar”.
Existem vários números menores que 1.000 sem uma soma de três cubos, explicou Sutherland, mas ele está mais interessado em somas de três cubos que produzem o número 3. Desde então, os matemáticos provaram que 1 e 2 têm infinitas soluções de um padrão previsível, mas só encontraram soluções fáceis e triviais para o 3 (1 ao cubo + 1 ao cubo + 1 ao cubo = 1+ 1 +1 = 3, por exemplo). Há expectativa para quando outra solução de maior número será revelada.
Se isso parece frivolidade matemática, não é. Essas equações diofantinas, nas quais você precisa descobrir várias incógnitas que se combinam com um valor conhecido, são usadas pela computação em vários algoritmos.
O que esses pesquisadores realmente estão fazendo, encontrando pontos nas curvas elípticas, é uma ideia matemática fundamental usada na criptografia que protege coisas como os bitcoins, por exemplo.
Se você não se importa com nada disso, porém, pode apenas dizer que a resposta para a vida, o universo e tudo mais pode ser expressa pela soma de três cubos — mesmo que ninguém saiba qual é a questão que ela responde.